高数证明题

孙泽辉

发布于：2021年8月22日

字数：656字

时长：3分钟

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专升本会考到的证明题。

证明题大全

二阶导数>0，说明一阶导数单调递增

导数定义：

$\lim_{x-\to a}\frac{f(x)-b}{x-a}=A\\ 则：f(a)=b,f'(a)=A$

证明奇偶性：

奇函数：

$f(-x)=-f(x)\\ f(-x)+f(x)=0$

偶函数：

$f(-x)=f(x)$

证明单调性：

单调递增：

$X_1<X_X\\ f(x_2)-f(x_1)>0$

若函数是奇函数：

$-f(x)=f(-x)\\ f(x_2)-f(x_1)=f(x_2)+f(-x_1)>0$

证明周期：

证明连续：

判断用什么定理：

开区间：零点定理

闭区间：介值定理

零点定理：

令$h(x)=f(x)-x$，证明出来h(x)=0之后，即f(x)=x

证明方法：端点值异号：$f(a)f(b)<0$

证明至少一个正根：

使用零点定理

使用罗尔定理：

步骤：

1. 还原$f(x)$的导数$F(x)$ ，即 $F'(x)=f(x)$
2. 带入两个点到$F(x)$；里（通常带0和1）
3. 两个点相等，罗尔定理成立，使得$F'(x)=0$
4. 因为$F'(x)=f(x)$，所以$F'(c)=f(c)=0$

凹凸性：

Th：f(x)在[a,b]区间内二阶可导

1. 如果f(x)二阶导数大于0，a属于(a,b)，则f(x)在[a,b]上凹。
2. 如果f(x)二阶导数小于0，a属于(a,b)，则f(x)在[a,b]上凸。

步骤：

1. 求x的定义域D
2. 求f(x)二阶导数等于0的点，和不存在的点
3. 2中的点划分成若干小区间，判断小区间内二阶导数的符号

渐近线：

水平渐近线：

$\displaystyle \lim_{x\to \infin}f(x)=A$，$y=A$是水平渐近线

铅直渐近线：

$IF:\lim_{x \to a}f(x)=\infin\\ or:f(a-0)=\infin \\ or:f(a+0)=\infin$

x=a为铅直渐近线。