高数笔记

孙泽辉

考试

发布于：2021年6月28日

字数：2.6k字

时长：12分钟

次浏览

来自菜鸡的笔记。。

常用公式：

1. 降次

   \begin{eqnarray} \sin^2x &=& \frac{1-\cos2x}{2} \\ \cos^2x &=& \frac{1+\cos2x}{2} \end{eqnarray}

2. 基本公式

   \begin{eqnarray} \mbox{倒数关系：} \qquad & \mbox{商的关系：} \\ \tan \alpha * \cot \alpha = 1 \qquad & \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{\sec \alpha}{\csc \alpha} \\ \sin \alpha * \csc \alpha = 1 \qquad & \\ \cos \alpha * \sec \alpha = 1 \qquad & \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha = \frac{\csc \alpha}{\sec \alpha}\\ \end{eqnarray}

   \begin{eqnarray} \mbox{平方关系：} \\ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha &=& 1\\ 1 + \tan^2 \alpha &=& \sec^2 \alpha\\ 1 + \cot^2 \alpha &=& \csc^2 \alpha \end{eqnarray}

3. 倍角公式

   \begin{eqnarray} \sin2\alpha &=& 2\sin \alpha \cos \beta \\ \\ \\ \cos2\alpha &=& \cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\&=&1-2\sin^2\alpha \\&=&2\cos^2\alpha-1 \\ \\ \tan 2\alpha &=& \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \end{eqnarray}

4. 两角和与差公式

   \begin{eqnarray} \sin(a\pm b) &=& \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\ \\ \cos(a\pm b) &=& \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \\ \\ \tan(a\pm b) &=& \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1\mp \tan \alpha \tan \beta} \end{eqnarray}

5. 诱导公式

   \begin{eqnarray} \sin (-\alpha) &=& -\sin \alpha \\ \cos (-\alpha) &=& \cos \alpha \\ \tan (-\alpha) &=& -\tan \alpha \\ \cot (-\alpha) &=& -\cot \alpha \\ \end{eqnarray}

6. 初等函数公式：

   $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ e^{+\infin} = \infin \\ e^{-\infin} = 0 \\ ln+\infin = \infin \\ ln0 = \infin \\ ln1 = 0 \\ lne = 1 \\ e^0 = 1 \\ \sqrt{a*b} \leq \frac{a+b}{2}$

极限

基本性质：

基本一般性质：

• 有极限肯定有界，有界不一定有极限
  • 如：$a_n = 1+(-1)^n$ ，$|a_n|\leq2$ 但没有极限

存在性质：

• 准则1：夹逼定理

无穷小的性质：

• 有限个无穷小相加减 = 无穷小
• 有限个无穷小相乘 = 无穷小
• 常数乘以无穷小 = 无穷小
• 有界函数与无穷小相乘 = 无穷小
• $\lim f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha,\alpha \to 0$

常见等价无穷小：

• $x\Leftrightarrow \sin x \Leftrightarrow \tan x \Leftrightarrow \arcsin x \Leftrightarrow \arctan x \Leftrightarrow e^x-1 \Leftrightarrow \ln (1+x)$
• $1-\cos x \Leftrightarrow \sec x - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2}x^2$
• $(1+x)^a - 1 \Leftrightarrow ax$​
• $\ln (1+x)-x \Leftrightarrow \frac{1}{2}x^2$

反三角函数的极限：

重要极限：

• $\displaystyle \lim _{\Delta \to 0} \frac{\sin \Delta}{\Delta} = 1$
• $\displaystyle \lim _{\Delta \to 0} (1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}} = e$
• $\displaystyle \lim _{\Delta \to 0} \frac{1-\cos \Delta}{\Delta} = 0$

数列极限：抓大头

• 上小于下：0

• 上等于下：$\frac{a}{b}$

• 上大于下：$\infin$

凑第二重要极限万能公式：

$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim [f(x)-1]g(x)}$

注意：

何时需要区分左右极限？

如果$x>0$ ，并且想写$\sqrt[n]{x^{?}}=x^m$ ，那么需要在$x^m$之前加一个负号的唯一情形是，n是偶的而m是奇的。

等价无穷小精确度问题：

在相加的时候一定情况下可以使用等价无穷小，如果精确度不够，不能使用等价无穷小

例如：

以下函数，任两者之差为3阶无穷小：

$x,\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x$

1. 如果等价后的阶数是同阶，精确度够了，可以直接用。

2. 分母三阶，分子一阶无穷小，分母比分子更精确，不能使用等价无穷小。

   注意是判断等价之后的阶数

函数的连续性

点连续

若$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) 或 \lim_{x\to x_0^\pm }f(x) = f(x_0)$ ，则称$f(x)$在某点连续（或右、左连续）

出题方向：给出一个分段函数，已知连续，求未知数

求解方法：

1. 求出分段点的左右极限
2. 判断$\displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $ 是否满足 （极限值等于函数值）

区间连续

若$f(x)$在区间F中每一点都连续（闭区间端点为单侧连续），则称$f(x)$在F上连续。

连续函数的和差积商仍为连续函数

初等函数在定义域内连续

连续函数的性质：

设$f(x)$在$[a.b]$上连续：

1. $f(x)$在$[a,b]$上有界

2. $f(x)$在$[a,b]$上取得最大值、最小值

3. 介值定理

   对任意介于$f(a)与f(b)[f(a)\neq f(b)]$ 之间的实数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) =C$

4. 零点定理

   若$f(a)*f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$ 使得 $f(\xi) =0$

函数间断点类型：

• 第一类间断点：左右极限存在

  • 左极限 = 右极限 但 函数值不等于极限值，或者函数值没有定义（可去间断点）
  • 左极限 /= 右极限 （跳跃间断点）

• 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

  • 左极限右极限至少有一个是无穷（无穷间断点）
  • 来回震荡，极限不存在（震荡间断点）

解题步骤：

1. 找出没有定义的点（所有可能的间断点），如分母为0
2. 对于每个点计算左右极限，判断类型

各种类型极限求法

case 1：0/0型极限（分子分母都是无穷小）：

遇到幂指函数立即推

$u(x)^{v(x)} => e^{v(x)\ln u(x)}$

遇到以下情况立即往公式上凑

$\ln (?) => \ln(1+\Delta) \Leftrightarrow \Delta $

$(?)-1 => \begin{cases} e^{\Delta}-1 \Leftrightarrow \Delta \\ (1+\Delta)^a-1 \Leftrightarrow a*\Delta \\ \end{cases}$

case 2：$1^\infin$型极限（底数趋向于1，指数趋向于无穷）

1. 凑$(1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}} \Leftrightarrow e$

2. 恒等变形

case 3：$\frac{\infin}{\infin}$ （无穷比无穷型）

1. 抓大头：

$\displaystyle \lim_{x \to \infin} \frac{b_nx^n+...+b_0}{a_nx^m+...+a_0} \begin{cases} = 0 ,n<m \\ =\frac{b_n}{a_n},n=m\\ =\infin,n>m \end{cases}$

2. 转换成$\frac{0}{0}$型
3. 洛必达法则

case 4： $0*\infin$型

1. 转换成零比零型极限
2. 转换成无穷比无穷型极限

怎么转呢？

乘以一个数等于除以一个数的倒数，把简单的放到分母上

case 5：$\infin * \infin$型

1. 通分
2. 分数有理化
3. 根式有理化

一元微分学

常用公式：

$3.(\alpha^x)'=\alpha^xln\alpha,(e^x)'=e^x 4.$

求导四则运算：

乘积法则

$如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$如果y=uv,则\frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}.$

$如果y=uvw,则\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}.$

商法则

$如果h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，那么h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

$如果y = \frac{u}{v}，那么 \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

链式求导法则

$如果h(x) = f(g(x))，那么h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

对整体求导，然后乘子函数的导数