使用python实现牛顿迭代法求近似解

孙泽辉

发布于：2021年7月20日

字数：916字

时长：4分钟

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以前困惑于求各种根式求值，现在学了牛顿迭代法，下次再求根式我就直接手撕根号了。

铺垫

现在让你求$\sqrt{11}$ 是多少？硬算的话肯定不行，估算大概是在$\sqrt{9}$附近，现在画出$f(x)=\sqrt{x}$的函数图像，再标记$\sqrt{9}$的位置：

在点(9,3)做切线$L(x)$，明显看出$L(x)$和$f(x)$在点(9,3)重合，两条线十分接近点$(11,\sqrt{11})$ ，两条线之间的间隔就是估算的误差，算出切线$L(x)$在x=11时的函数值，就是$f(x)$的近似解。

因为求该点切线需要用到该点的斜率，我们先求导算出斜率：

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$

将斜率带入切线方程：

$y-y_0=k(x-x_0)\\ y-3 = \frac{1}{6}(x-9)\\ y=\frac{3}{2}+\frac{x}{6}\\ L(x) = \frac{3}{2}+\frac{x}{6}$

将x=11带入切线方程

$L(11)=\frac{11}{6}+\frac{3}{2}=\frac{10}{3}$

所以$\sqrt{11}$近似的等于$\frac{10}{3}$，事实上，你可以使用计算器去校验一下， 由计算器求得的结果是3.317(精确到小数点后第3位),所以我们的计算结果是非常不错的。

牛顿迭代法

在求一个复杂的方程的时候，想简单的估算一下，就可以按照下面的方法做：

在$y=f(x)$上任意选一个x=a，作其切线$L(x)$。函数在a点的函数值并不等于零，可以说是x=a个近似解，但误差太大了，我们要让函数值等于0。往左可以看到x=b时，f(b)的函数值更接近0了，这时b这个近似解比a误差更小，我们先把b这个点算出来，怎么求b的值呢？

b点是切线方程L在x轴上的截距，令切线方程中的$L(x)=0$，即可求出x轴的截距。

$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\\ 0=f(a)+f'(a)(x-a)\\ x=a-\frac{f(a)}{f'(a)}$

所以下一个点的点b计算公式：

$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}$

算出点b的点之后继续将b带入f(x)中试试点b的函数值有没有更趋近于0，继续作点b的切线重复第一步，循环往复，最终求出来的值b是个比之前更好的近似解。

代码实现

import math


# 求导
def numerical_diff(f, x):
    h = 1e-10
    return (f(x + h) - f(x)) / h


# 牛顿迭代法实现
def solution(a, f):
    b = 0
    Delta = 1
    while Delta > 0.000001:
        b = a - f(a) / numerical_diff(f, a)
        Delta = f(b)
        a = b
    return b


def fun1(x):
    return x ** 5 + 2 * x - 1


def fun2(x):
    return x - math.cos(x)


fun1_ret = solution(0, fun1)
print("x**5+2*x-1 的近似解为：", fun1_ret)

fun2_ret = solution(math.pi / 2, fun2)
print("x-cos(x) 的近似解为：", fun2_ret)

# output:
# x**5+2*x-1 的近似解为： 0.48638904079265016
# x-cos(x) 的近似解为： 0.7390851781433039

• 参考资料：《普林斯顿微积分读本》